Question

已知函数f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）在△ABC中，若f（C）=-1，若sinA，sinC，sinB成等比数列，

CA

•（

AB

-

AC

）=18，求c的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）首先通过三角恒等变换，把函数变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和单调区间．
（2）利用（1）的结论，先求出C的值，进一步利用向量的数量积和余弦定理及等比中项求出结果．

解答： 解：（1）函数f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx=cos2x-

3

sin2x+1
=2cos(2x+

π

3

)+1
∴T=

2π

2

=π．
令：2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）．
解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
函数的单调递减区间为：x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）由于f（x）=2cos(2x+

π

3

)+1
所以：f（C）=2cos(2C+

π

3

)+1=-1
解得：cos(2C+

π

3

)=-1，
由于：0＜C＜π，
所以：

π

3

＜2C+

π

3

＜

7π

3

，
解得：C=

π

3

．
由于：sinA，sinC，sinB成等比数列
所以：c²=ab
又

CA

•（

AB

-

AC

）=18
利用向量的数量积：b²-bccosA=18
整理得：a²+b²-c²=36
所以：ab=36
进一步求得：c=6

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的周期和单调区间，向量的数量积，余弦定理的应用，等比数列的应用．属于基础题型．