题目内容
已知曲线C上任意一点到两定点O（0，0）和A（3，0）的距离之比为
=
，
（1）求曲线C的方程；
（2）过（0，2）点的直线l被曲线C截得的弦长为2
，求l的方程．
| |MO| |
| |MA| |
| 1 |
| 2 |
（1）求曲线C的方程；
（2）过（0，2）点的直线l被曲线C截得的弦长为2
| 3 |
考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系
专题：综合题,直线与圆
分析：（1）设M的坐标为（x，y），由题意动点M到定点O（0，0）和A（3，0）的距离之比为
=
，结合两点间的距离，化简整理得动点M轨迹C的方程；
（2）分类讨论，利用点N的直线l被曲线C截得的弦长为2
，即可求直线l的方程．
| |MO| |
| |MA| |
| 1 |
| 2 |
（2）分类讨论，利用点N的直线l被曲线C截得的弦长为2
| 3 |
解答：
解：（1）设M的坐标为（x，y），由题意，
∵动点M到定点O（0，0）和A（3，0）的距离之比为
=
，
∴
=
，
整理得x2+y2+2x-3=0；
（2）x2+y2+2x-3=0可化为（x+1）2+y2=4，
斜率不存在时，直线方程为x=0，y=±
，满足题意；
斜率存在时，设方程为y=kx+2，
∵过（0，2）点的直线l被曲线C截得的弦长为2
，
∴圆心到直线的距离为1，
∴
=1，
∴k=
，
∴直线l的方程为y=
x+2．
综上，直线l的方程为y=
x+2或x=0．
∵动点M到定点O（0，0）和A（3，0）的距离之比为
| |MO| |
| |MA| |
| 1 |
| 2 |
∴
| x2+y2 |
| (x-3)2+y2 |
| 1 |
| 4 |
整理得x2+y2+2x-3=0；
（2）x2+y2+2x-3=0可化为（x+1）2+y2=4，
斜率不存在时，直线方程为x=0，y=±
| 3 |
斜率存在时，设方程为y=kx+2，
∵过（0，2）点的直线l被曲线C截得的弦长为2
| 3 |
∴圆心到直线的距离为1，
∴
| |-k+2| | ||
|
∴k=
| 3 |
| 4 |
∴直线l的方程为y=
| 3 |
| 4 |
综上，直线l的方程为y=
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查直线的方程，注意结合题意，选择直线方程的合适的形式，进行整理变形、求解．
练习册系列答案
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函数f（x）=
x+lnx的零点所在的区间是（ ）
| 1 |
| 2 |
| A、（0，1） |
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| D、（3，4） |
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=
，
=
，
=
，则向量
用
、
、
表示为（ ）
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| c |
| OD |
| a |
| b |
| c |
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、-
| ||||||
D、-
|