Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x+m，椭圆C上有两个不同的点关于直线l对称．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：第一步：设椭圆上关于直线l对称的两点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀）；
第二步：将A，B两点坐标代入椭圆方程中，由点差法得AB的斜率k_AB与中点坐标（x₀，y₀）的关系式，又由l⊥AB，得x₀与y₀的关系；
第三步：将坐标（x₀，y₀） 代入l的方程中，得x₀与y₀的另一个关系；
第四步：由第二、三步的两个关系式，可将x₀，y₀用m表示；
第五步：将x₀，y₀代入椭圆方程的左边，根据M在椭圆内部，得到关于m的不等式，解此不等式即可．

解答： 解：设椭圆上关于直线l对称的两点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB的中点为M（x₀，y₀），
则由

x 2 1 4 + y 2 1 3 =1 x 2 2 4 + y 2 2 3 =1

，两式相减得

x 2 1 - x 2 2

4

+

y 2 1 - y 2 2

3

=0，
即

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

3

=0，
又由直线AB的斜率kAB=

y1-y2

x1-x2

，以及中点公式

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

，
得

x0

4

+

y0

3

•kAB=0，即kAB=-

3x0

4y0

，又由l⊥AB，得kAB=-

1

4

，
∴-

3x0

4y0

=-

1

4

，即y=3x．…①
∵点M在直线l上，∴y₀=4x₀+m．…②
联立①、②，得

x0=-m y0=-3m

，即M（-m，-3m），
根据点M在椭圆的内部，得

(-m)2

4

+

(-3m)2

3

＜1，
解得-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．

点评：本题考查了直线与椭圆的相交关系，点关于直线的对称性，参数范围的求解等，关键是通过消参，找到参数m与中点坐标x₀，y₀的关系，处理参数范围问题的一般步骤是：
1、设参；
2、建立等量关系，并消去多余参数；
3、寻找不等关系，解不等式．