Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=

x2+1，x∈[0，1) 1-x2，x∈[-1，0)

且f（x）=f（x+2），函数g（x））的表达式为g（x）=

x+3

x+2

，则方程g（x）=f（x）在区间[-5，1]上的所有实数根之和为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，函数f（x）是周期函数，从而讨论每一段上的函数值，从而求方程g（x）=f（x）的解．

解答： 解：由题意，当x=1时，f（1）=f（-1）=0，g（1）=

4

3

；
当0≤x＜1时，x²+1=

x+3

x+2

，
即（x+1）（x²+x-1）=0，
解得x=

-1+ 5

2

；
当-1≤x＜0时，f（x）＜1，
g（x）＞1，无解；
当-2＜x＜-1时，f（x）＜2，
g（x）＞2，无解；
当-3≤x＜-2时，f（x）＞0，
g（x）＜0，无解；
当-4≤x＜-3时，f（x）=f（x+4）=（x+4）²+1＞1，
g（x）＜1，无解；
当-5≤x＜-4时，f（x）=f（x+4）=1-（x+4）²＜1，
g（x）＜1，
则1-（x+4）²=

x+3

x+2

，
解得x=

-7- 5

2

；
则

-7- 5

2

+

-1+ 5

2

=-4；
故答案为：-4．

点评：本题考查了函数的周期性的应用及分段函数的函数值，属于难题．