Question

3．对于函数f（x）=$\frac{2}{{3}^{x}+1}$+m，（m∈R）
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明
（2）是否存在实数m使函数f（x）为奇函数．

Answer 1

分析 （1）利用函数单调性的定义，即可证明；
（2）利用f（0）=0，即可求解．

解答 解：（1）f（x） 在（-∞，+∞） 上为单调减函数
证明：设x₁＞x₂，则：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}）}{（{3}^{{x}_{1}}+1）（{3}^{{x}_{2}}+1）}$
∵x₁＞x₂；
∴${3}^{{x}_{2}}$-${3}^{{x}_{1}}$＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x） 在 （-∞，+∞） 上为减函数． （6分）
（2）令f（0）=0，可得1+m=0，∴m=-1．

点评 本题考查根据减函数的定义证明一个函数为减函数的方法及过程，考查函数的奇偶性，属于中档题．