Question

8．设直线l经过椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的右焦点且倾斜角为45°，若直线l与椭圆相交于A，B两点，则|AB|=（　　）

• A． $\frac{2}{5}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{8}{5}$

Answer 1

分析 直线l的方程为$y=x-\sqrt{3}$，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得5x²-8$\sqrt{3}x$+8=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出|AB|．

解答 解：∵直线l经过椭圆$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的右焦点且倾斜角为45°，
∴直线l过点F（$\sqrt{3}$，0），斜率k=tan45°=1，
∴直线l的方程为$y=x-\sqrt{3}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=x-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，得5x²-8$\sqrt{3}x$+8=0，
$△=（-8\sqrt{3}）^{2}$-160=32＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{8}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{（1+1{\;}^{2}）[（\frac{8\sqrt{3}}{5}）^{2}-4×\frac{8}{5}]}$=$\frac{8}{5}$．
故选：D．

点评 本题考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．