Question

14．在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0）
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），证明{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）当q=2时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出b_n=a_n+1-a_n=qb_n-1，n≥2，b₁=a₂-a₁=1，q≠0，由此能证明{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．
（Ⅱ）由a₂-a₁=1，a₃-a₂=q，…，${a}_{n}-{a}_{n-1}={q}^{n-2}$，利用累加法能求出数列{a_n}的通项公式．

解答 证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+1=（1+q）a_n-qa_n-1（n≥2，q≠0），
∴a_n+1-a_n=q（a_n-a_n-1），即b_n=a_n+1-a_n=qb_n-1，n≥2，
又b₁=a₂-a₁=1，q≠0，
∴{b_n}是首项为1，公比为q的等比数列．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得a₂-a₁=1，a₃-a₂=q，
…，${a}_{n}-{a}_{n-1}={q}^{n-2}$，
将以上各式相加，得：
a_n-a₁=1+q+…+q^n-1=1+2+…+2^n-2=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1-1．
∴a_n=2^n-1．
n=1时，上式也成立，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．