Question

已知函数f（x）=3-log₂x，x∈[1，16]，求y=[f（x）]²+f（x²）的值域．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题先求出x取值范围，即新函数的定义域，再利用换元法将原函数转化成二次函数，求出相应函数在区间上的值域，得到本题结论．

解答： 解：∵函数y=f（x），x∈[1，16]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）中x满足：

1≤x≤16 1≤x2≤16

，
∴x∈[1，4]．
∵函数f（x）=3-log₂x，
∴y=[f（x）]²+f（x²）
=（3-log₂x）²+3-log₂x²
=(log2x)2-8log2x+12．
设log₂x=t，t∈[0，2]．
y=g（t）=t²-8t+12=（t-4）²-4，
∴g（2）≤g（t）≤g（0）．
∴0≤g（t）≤12．
∴y=[f（x）]²+f（x²）的值域为[0，12]．

点评：本题考查了二次函数的值域，还考查了换元思想，本题要注意新函数的定义域，这是本题的难点．本题属于基础题．