Question

直线y=kx+1被椭圆x²+2y²=1所截得的线段AB的中点横坐标是-

2

3

，则AB=

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：将直线方程代入椭圆方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，韦达定理得到x₁+x₂用k表示，其中点横坐标为-

2

3

，故x1+x2=-

4

3

，据此列出k的方程求出k代入弦长公式即可．

解答： 解：将y=kx+1代入椭圆x²+2y²=1后化简得
（2k²+1）x²+4kx+1=0，首先△=16k²-4（2k²+1）＞0，即k2＞

1

2

①
设两交点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则x1+x2=-

4k

2k2+1

=-

4

3

②，x1x2=

1

2k2+1

解得k=1或k=

1

2

，结合①得k=1符合题意．
所以AB=

1+k2

(x1+x2)-4x1x2

=

2 2

3

．
故答案为

2 2

3

．

点评：本题重点考查了直线与圆锥曲线相交时的弦长公式，以及韦达定理的应用，属基础题．