Question

函数f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性；
（2）若函数f（x）在（0，2）有两个不同的零点，求实数k的取值范围，并证明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分k=0和k≠0利用定义判断原函数的奇偶性；
（2）写出分段函数，然后分两个零点在（0，1]，（1，2）上各一个或都在（1，2）上求解k的范围，然后把两零点代入不同的函数得到

kx1+1=0 2x22+kx2-1=0

，
再由零点范围证得答案．

解答： （1）解：当k=0时，f（x）=|x²-1|+x²，
f（-x）=|（-x）²-1|+（-x）²=f（x），
∴f（x）为偶函数．
当k≠0时，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴f（x）为非奇非偶函数；
（2）解：f(x)=

kx+1，0＜x≤1 2x2+kx-1，1＜x＜2

，
①若两个零点在（0，1]，（1，2）上各一个，
当x∈（0，1]时，由f（1）≤0，得k≤-1．
当x∈（1，2）时，由

f(1)＜0 f(2)＞0

，得-

7

2

＜k＜-1．
②两零点都在（1，2）时，
方程2x²+kx-1=0的两根满足x₁x₂=-1与x₁，x₂＞1不符．
综上，-

7

2

＜k＜-1．
证明：由上可知，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2），
则

kx1+1=0 2x22+kx2-1=0

，
∴

1

x1

=-k，

1

x2

=k+2x2，
故

1

x1

+

1

x2

═2x2，而x₂∈（1，2），2x₂∈（2，4），
∴

1

x1

+

1

x2

＜4．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，考查了函数的零点，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．