Question

已知函数f（x）=x^m-

4

x

，且f（4）=3
（1）求m的值；
（2）证明f（x）的奇偶性；
（3）若不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用f（4）=3，即可解出．
（2）利用函数奇偶性的定义即可判断出．
（3）由于函数y=x，y=-

1

x

在[1，+∞）上单调递增；可得函数f（x）在[1，+∞）上单调递增．
不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，?a＜f（x）_min，x∈[1，+∞）．即可得出．

解答： （1）解：∵f（4）=3，∴4^m-

4

4

=3，解得m=1．
（2）证明：f（x）=x-

1

x

．其定义域为{x|x≠0}．
∵f（-x）=-x-

1

-x

=-（x-

1

x

）=-f（x），∴函数f（x）是奇函数．
（3）解：∵函数y=x，y=-

1

x

在[1，+∞）上单调递增；
∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递增．
∴当x=1时，f（x）取得最小值，f（1）=1-4=-3．
∵不等式f（x）-a＞0在[1，+∞）上恒成立，
a＜f（x）_min，x∈[1，+∞）．
∴a＜-3．
∴实数a的取值范围是a＜-3．

点评：本题考查了函数奇偶性单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．