Question

已知圆（x+1）²+y²=8的圆心为M，N（t，0），t＞0且t≠2

2

-1，设Q为圆上任一点，线段QN的垂直平分线交直线MQ于点P．
（1）试讨论动点P的轨迹类型；
（2）当t=1时，设动点P的轨迹为曲线C，过C上任一点P作直线l，l与曲线C有且只有一个交点，l与圆M交于点AB，若△ABN的面积是

31

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题|PN|=|PQ|，当0＜t＜2

2

-1时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，2

2

为长轴的椭圆；当t＞2

2

-1时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，2

2

为实轴长的双曲线．
（2）t=1时，曲线C的方程是

x2

2

+y2=1，设直线l的方程为y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用圆心M（-1，0）到直线l的距离、弦长公式结合已知条件能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）由题|PN|=|PQ|，
当0＜t＜2

2

-1时，点N在圆M内，点P在线段MQ内，
∴|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|=2

2

＞t+1
∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，2

2

为长轴的椭圆，…2分
当t＞2

2

-1时，点N在圆M外，点P在线段MQ的延长线上，
∴||PM|-|PN||=||PM|-|PQ||=2

2

＜t+1
∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，2

2

为实轴长的双曲线．…5分
（2）由（1）知t=1时，
动点P的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，2

2

为长轴长的椭圆
∴a=

2

，c=1，∴b=1
∴曲线C的方程是

x2

2

+y2=1…6分
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消y并整理成（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0（*）
∵l与曲线C有且只有一个交点，
∴（*）方程有且只有一个实数解，
∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
即有m²=1+2k²…7分
∵圆心M（-1，0）到直线l的距离为

|m-k|

1+k2

，
∴弦长|AB|=2

8-( |m-k| 1+k2 )2

=2

8- (m-k)2 1+k2

，…9分
点N（1，0）到直线l的距离为d=

|m+k|

1+k2

，
∴△ABN的面积为S=

1

2

|AB|×d，
∴S=

8- (m-k)2 1+k2

×

|m+k|

1+k2

=

8- (m-k)2 1+k2

×

(m+k)2 1+k2

=

8(m+k)2 1+k2 - (m2-k2)2 (1+k2)2

=

16(mk-1) 1+k2 +23

，
∵△ABN的面积是

31

，∴

16(mk-1) 1+k2 +23

=

31

，
解得得2mk=3+k²
∴4m²k²=（3+k²）²⇒4（1+2k²）k²=9+6k²+k⁴⇒（k²+1）（7k²-9）=0
∴k2=

9

7

，k=±

3 7

7

当k=

3 7

7

时，代入2mk=3+k²得m=

5 7

7

当k=-

3 7

7

时，代入2mk=3+k²得m=-

5 7

7

…12分
当直线的斜率不存在时，直线l方程为x=

2

或x=-

2

经检验不满足条件
综上所求直线方程为y=

3 7

7

x+

5 7

7

或y=-

3 7

7

x-

5 7

7

．…13分．

点评：本题考查点的轨迹类型的讨论，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．