Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长是短轴长的两倍，以某短轴顶点和长轴顶点为端点的线段作为直径的圆的周长为

5

π．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与椭圆相交于A，B两点，设直线OA，l，OB的斜率分别为k₁，k，k₂（其中k＞0）．△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S₁，S₂，若k₁，k，k₂恰好构成等比数列，求

S1+S2

S

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意知a=2b，且

a2+b2

=

5

，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合已知条件能求出

S1+S2

S

的取值范围．

解答： 解：（1）由题意知a=2b，且

a2+b2

=

5

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
由韦达定理有：

x1+y1=- 8km 1+4k2 x1x2= 4(m2-1) 1+4k2

，且△=16（1+4k²-m²）＞0，…（6分）
∵k₁，k，k₂构成等比数列，∴k²=k₁k₂=

(kx1+m)(kx2+m)

x1x2

，
即：km（x₁+x₂）+m²=0，
由韦达定理代入化简得：k2=

1

4

．∵k＞0，∴k=

1

2

，…（8分）
此时△=16（2-m²）＞0，即m∈（-

2

，

2

）．
故S=

1

2

|AB|d=

1

2

1+k2

|x₁-x₂|•

|m|

1+k2

=

1

2

(x1+x2)2-4x1x2

•|m|
=

2-m2

•|m|．…（10分）
又S₁+S₂=

π

4

(x12+y12+x22+y22)
=

π

4

(

3

4

x12+

3

4

x22+2)
=

3π

16

[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+

π

2

=

5π

4

为定值．
∴

S1+S2

S

=

5π

4

•

1

2-m2 •|m|

≥

5π

4

，
当且仅当m=1∈（-

2

，

2

）时等号成立．
综上：

S1+S2

S

∈[

5π

4

，+∞）．…（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两圆面积和与三角形面积的比值的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意弦长公式的合理运用．