Question

已知函数f（x）=x+

a

x

+lnx，若对任意的a∈[

1

e

，2e²]，函数f（x）满足任意的x∈[1，e]都有f（x）＜m，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：求导数，确定函数的单调性，求出函数的最大值，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

+lnx，
∴f′（x）=

x2+x-a

x2

，
∵a∈[

1

e

，2e²]，
∴f′（x）＞0，
∴函数在[1，e]上单调递增，
∴f（x）_max=f（e）=e+1+

a

e

，
∵a∈[

1

e

，2e²]，
∴f（x）_max=3e+1，
∴m＞3e+1．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．