Question

已知函数f（x）=lnx，函数y=g（x）为函数f（x）的反函数．
（Ⅰ）当x＞1时，g（x）＞ax+1恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）对于x＞0，均有f（x）≤bx≤g（x），求b的取值范围．

Answer 1

考点：反函数,函数的最值及其几何意义

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）转化导数大于等于0恒成立，得到a的表达式，求出a的最大值即可．
（Ⅱ）对于x＞0，均有f（x）≤bx≤g（x），转化为

lnx

x

≤b≤

ex

x

，分别令F（ x）=

lnx

x

，G（x）=

ex

x

，分别利用导数求出F（ x）_max=F（e）=

1

e

，G（ x）_min=G（1）=e，问题得以解决．

解答： 解（Ⅰ）由y=lnx解得x=e^y，即：y=e^x
∵x＞0，∴y∈R
所以函数f（x）=lnx（x＞0）反函数为y=e^x（x∈R）
∴g（x）=e^x，
∵x＞1时，g（x）＞ax+1恒成立
∴a＜

ex

x

-

1

x

令h（x）=

ex

x

-

1

x

，
则h′（x）=

ex(x-1)

x2

+

1

x2

，
∴h′（x）=

ex(x-1)

x2

+

1

x2

＞0恒成立，
∴h（x）在（1，+∞）为单调递增函数，
∴h（x）_min=h（1）=e-1
故a的取值范围为（-∞，e-1]
（Ⅱ）∵x＞0，均有f（x）≤bx≤g（x），
∴lnx≤bx≤e^x，
即

lnx

x

≤b≤

ex

x

令F（ x）=

lnx

x

，
则F′（ x）=

1-lnx

x2

，
当x∈（0，e），F′（ x）＞0，F（x）单调递增，
当x∈（e，+∞），F′（ x）＜0，F（x）单调递减，
故当x=e时，F（ x）_max=F（e）=

1

e

，
再G（x）=

ex

x

，
则G′（x）=

ex(x-1)

x2

，
当x∈（1，+∞），G′（ x）＞0，G（x）单调递增，
当x∈（0，1），G′（ x）＜0，G（x）单调递减，
故当x=1时，G（ x）_min=G（1）=e，
故

1

e

≤b≤e，
故b的取值范围为[

1

e

，e]

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．