Question

f（x）=

3

sinx-cosx，求该函数周期，最大值，及取最大值时的x的取值集合和它的单调递减区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）=2sin（x-

π

6

），由此可得函数的周期以及最大值．令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的减区间．

解答： 解：∵f（x）=

3

sinx-cosx=2（

3

2

sinx-

1

2

cosx）=2sin（x-

π

6

），
∴函数的周期为T=

2π

1

=2π；
函数的最大值为2，此时x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈z，
故函数取最大值时的x的取值集合为{x|x=2kπ+

2π

3

，k∈z}．
令2kπ+

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得2kπ+

2π

3

≤x≤2kπ+

5π

3

，k∈z，
故函数的减区间为[2kπ+

2π

3

，2kπ+

5π

3

]，k∈z．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦函数的周期性和单调性，属于中档题．