Question

已知{a_n}是等差数列，公差d≠0，a₁，a₃，a₁₃成等比数列，S_n是{a_n}的前n项和
（1）求证：S₁，S₃，S₉成等比数列；
（2）若S₃=9，a_n=21，求n．

Answer 1

考点：等比关系的确定,等差数列的前n项和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用a₁，a₃，a₁₃成等比数列，可得d=2a₁，从而S₃=9a₁，S₉=81a₁，即可证明S₁，S₃，S₉成等比数列；
（2）由S₃=9，求出首项与公差，利用a_n=21，即可求n．

解答： （1）证明：∵a₁，a₃，a₁₃成等比数列，
∵a32=a1a13，
∴(a1+2d)2=a1(a1+12d)，
∴d=2a₁，
∴S₃=9a₁，S₉=81a₁，
∴S32=S1S9…（6分）
（2）解：S₃=9a₁=9，∴a₁=1，d=2，
∵a_n=21=1+2（n-1），
∴n=11…（10分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等差数列的通项公式，属于中档题．