Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列．
（Ⅰ）试判断数列{a_n}是否成等比数列，并说明理由；
（Ⅱ）若a₅=32，设b_n=log₂（a₁a₂…a_n），试求

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意知2S_n=-a₂+2a_n+1，当n≥2时，2S_n-1=-a₂+2a_n，两式相减，得2a_n=2a_n+1-2a_n，从而得到a_n+1=2a_n，当a₁=a=0时，a_n=0，{a_n}不是等比数列．当a≠0时，

an+1

an

=2，{a_n}是首项为a，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由a₃=32，解得a=2，所以an=2n．从而得到

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

，由此利用裂项求和法能求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}的首项a₁=a，前n项和为S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差数列，
∴2S_n=-a₂+2a_n+1，当n≥2时，2S_n-1=-a₂+2a_n，
两式相减，得2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴当n≥2时，a_n+1=2a_n，
又当n=1时，2a₁=-a₂=2a₂，即a₂=2a₁，适合上式．
∴当a₁=a=0时，a_n=0，{a_n}不是等比数列．
当a≠0时，

an+1

an

=2，{a_n}是首项为a，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）∵a₃=32，∴a≠0，此时an=a×2n-1．
∴32=a×2⁴，解得a=2，∴an=2n．
b_n=log₂（a₁a₂…a_n）=log2(2×22×…×2n)
=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

1×2

+

2

2×3

+…+

2

n(n+1)

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=2（1-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查等比数列的判断，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．