Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a₄=2a₂+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，设T_n为数列{b_n}的前n项和，试比较T_n与3的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得

4a1+6d=8a1+4d a1+3d=2a1+2d+1

，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由已知得b_n=

2n-1

2n

，由此利用错位相减法求出T_n=3-

2n+1

2n

，从而能得到T_n＜3．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d．
由S₄=4S₂，a₄=2a₂+1，
得

4a1+6d=8a1+4d a1+3d=2a1+2d+1

，
解得a₁=1，d=2．…（4分）
∴a_n=2n-1，n∈N^*．…（5分）
（2）∵

bn

an

=

1

2n

，n∈N^*，a_n=2n-1，n∈N^*，
∴b_n=

2n-1

2n

，n∈N^*．…（6分）
又T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
两式相减得

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

 …（9分）
=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

2n-1

2n+1

．
∴T_n=3-

2n+1

2n

．…（11分）
故T_n＜3．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查两数大小的比较，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．