Question

已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）如果x为正实数，f（x）＜0，并且f（1）=-

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2

，试求f（x）在区间[-2，6]上的最值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）可令y=-x，得到f（x）+f（-x）=f（0），再令x=y=0，可求得f（0）=0，从而可证明f（x）是奇函数；
（2）确定f（x）在R上单调递减，可得f（-2）为最大值，f（6）为最小值，即可得出结论．

解答： （1）证明：令y=-x，得：f（x）+f（-x）=f（0），
令x=y=0，则f（0）=2f（0）⇒f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=0，f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函数；…（6分）
（2）解：设x₁＜x₂，且x₁，x₂∈R．
则f（x₂-x₁）=f（x₂+（-x₁））=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）．
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0．∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x）在R上单调递减．
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值．
∵f（1）=-

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，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，
f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3．
∴f（x）在区间[-2，6]上的最大值为1，最小值为-3．…（12分）

点评：本题考查函数奇偶性、单调性的判断，着重考查赋值法研究抽象函数的奇偶性，属于中档题．