Question

已知△ABC所对的边分别是a、b，设向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），

p

=（b-2，a-2）．
（1）若

m

∥

n

，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若

m

⊥

p

，边长c=2，角C=60°，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系,平行向量与共线向量

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由向量

m

∥

n

，得出x₁y₂-x₂y₁=0，利用正弦定理，结合三角函数恒等变换，求出A=B即可；
（2）由向量

m

⊥

p

，得出x₁y₁+x₂y₂=0，利用余弦定理，求出ab的值，即可求出△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（a，b），

n

=（sinB，sinA），且

m

∥

n

；
∴asinA-bsinB=0，
由正弦定理得，sinA•sinA-sinB•sinB=0，
即

1-cos2A

2

=

1-cos2B

2

；
∴cos2A=cos2B，
∴2A=2B，
即A=B；
∴△ABC为等腰三角形；
（2）∵向量

m

=（a，b），

p

=（b-2，a-2），且

m

⊥

p

；
∴a（b-2）+b（a-2）=0，
即ab=a+b；
又∵c=2，角C=60°，
由余弦定理得2²=（a+b）²-2ab-2abcos60°；
∴4=（ab）²-3ab，
解得ab=4，或ab=-1（舍去）；
∴△ABC的面积为S=

1

2

absinC=

1

2

×4×sin60°=

3

．

点评：本题考查了平面向量的应用问题以及正弦、余弦定理的应用问题，解题时应根据向量的平行与垂直，得出条件式，利用正弦、余弦定理化简条件，得出正确的结论，是综合题．