Question

某同学对函数f（x）=xsinx进行研究后，得出以下结论：
①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与直线y=z有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：①由函数f（x）是偶函数，所以是轴对称图形；
②作差，由正弦函数有界性，②∵|sinx|≤1，即可判断不等式成立；
③联立方程，解出x，由x的值可得，每相邻两面个值不一定相等，如-

3π

2

，0，

π

2

，距离不相等；
④联立方程，由方程组只有一个解，所以两面图象只有一个公共点．

解答： 解：①∵f（x） 为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，即f（x）的图象是轴对称图形，∴①对；
②∵|sinx|-1≤0，∴|x|（|sinx|-1）≤0，即|xf（x）|≤|x|，∴②对；，
③∵xsinx=x，x（sinx-1）=0，∴x=0或sinx=1，∴两图象的交点的横坐标为：x=0，x=

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴两图象有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离不一定相等；
④

y=kx y=xsinx

，kx=xsinx⇒x（k-sinx）=0，∵|k|＞1，∴k-sinx≠0，∴x=0，即两面图象仅有一个公共点，∴④对．
故答案为：①②④．

点评：本题考查了，函数与方程思想，零点，正弦函数有界性，等价转化思想，等知识，属于中档题．