Question

若f（x）=

m+n-2 x

1+2 x

（其中m＞0，n＞0）是奇函数，则代数式

1

m

+

1

n

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：首先，根据f（x）=

m+n-2 x

1+2 x

是奇函数，得到m+n=1，然后，在不等式中利用“1”的代换，进一步利用均值不等式求解最小值．

解答： 解：∵f（x）=

m+n-2 x

1+2 x

是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
∴

m+n-2-x

1+2-x

+

m+n-2 x

1+2 x

=0，
∴m+n-1=0，
∴m+n=1，
∵m＞0，n＞0，
∴代数式

1

m

+

1

n

=（m+n）（

1

m

+

1

n

）
=2+

m

n

+

n

m

≥2+2，（当且仅当m=n=

1

2

时等号成立），
∴代数式

1

m

+

1

n

的最小值为4．
故答案为：4

点评：本题重点考查了奇函数的性质、均值不等式及其应用等知识，注意利用均值不等式时，一定要验证等号成立的条件，属于中档题．