Question

2．已知函数$f（x）=a{x^3}-\frac{3}{2}（a+2）{x^2}+6x-3$
（Ⅰ） 当a=1时，求函数f（x）的极小值；
（Ⅱ）当a≤0时，试讨论曲线y=f（x）与x轴公共点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，判断函数的单调性，从而求出函数的极大值和极小值，判断出函数的零点个数即可．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=3x²-9x+6=3（x-2）（x-1），
当x＜1或x＞2，f（x）在（-∞，1）和（2，+∞）上递增，
f（x）在（1，2）上递减，
所以f（x）极小值为f（2）=-1…（5分）
（Ⅱ） ①若a=0时，则f（x）=-3（x-1）²，
∴f（x）的图象与x轴只有一个交点；
 ②若a＜0时，则$\frac{2}{a}＜1$，
∵${f^'}（x）=3a{x^2}-3（a+2）x+6=3a（x-\frac{2}{a}）（x-1）$，
当x＞1或$x＜\frac{2}{a}$时，f'（x）＜0；
当$\frac{2}{a}＜x＜1$时，f'（x）＞0；
∴f（x）极大值为$f（1）=-\frac{a}{2}＞0$，
f（x）的极小值为$f（\frac{2}{a}）=-4{（{\frac{1}{a}-\frac{3}{4}}）^2}-\frac{3}{4}＜0$，
∴f（x）的图象与x轴有三个交点；
综上知，若a=0，f（x）的图象与x轴只有一个交点；
若a＜0，f（x）的图象与x轴有三个交点…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．