Question

7．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{f}^{'}（e）x+xlnx$（其中，e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求f′（e）；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值；
（Ⅲ）若整数k使得f（x）＞k（x-1）恒成立，求整数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f′（e）即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的极值即可；
（Ⅲ）由题意f（x）-k（x-1）＞0对任意x＞0恒成立．令g（x）=f（x）-k（x-1）=x+xlnx-k（x-1），求出函数g（x）的导数，求出g（x）的最小值，从而求出满足条件的k的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$f'（x）=\frac{1}{3}f'（e）+1+lnx$…（1分）
取x=e得，$f'（e）=\frac{1}{3}f'（e）+1+lne=\frac{1}{3}f'（e）+2$，解得f'（e）=3…（2分）
（Ⅱ）f（x）=x+xlnx，f'（x）=lnx+2…（3分）
易知f（x）的定义域为（0，+∞），
当0＜x＜e^-2时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，e^-2）递减；
当x＞e^-2时，f'（x）＞0，即f（x）在（e^-2，+∞）递增…（5分）
函数f（x）在x=e^-2处取得极小值，且极小值为f（e^-2）=-e^-2，无极大值…（7分）
（Ⅲ）由题意f（x）-k（x-1）＞0对任意x＞0恒成立．
令g（x）=f（x）-k（x-1）=x+xlnx-k（x-1），g'（x）=lnx+2-k，x＞0…（8分）
当0＜x＜e^k-2时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，e^k-2）递减；
当x＞e^k-2时，g'（x）＞0，即g（x）在（e^k-2，+∞）递增．
所以函数g（x）在x=e^k-2处取得极小值，也为最小值．
即$g{（x）_{min}}=g（{e^{k-2}}）=-{e^{k-2}}+k$…（9分）
由题意，$g{（x）_{min}}=g（{e^{k-2}}）=-{e^{k-2}}+k＞0$，k＞e^k-2＞0…（10分）
因为2＜e＜3，所以k∈{1，2，3}时，
$g{（x）_{min}}=g（{e^{k-2}}）=-{e^{k-2}}+k＞0$…（11分）
当k＞3时，${k-e}^{k-2}＞k-{2}^{k-2}=k-{（1+1）}^{k-2}≥k-[1+（k-2）+{C}_{k-2}^{2}]≥0$，
所以整数k∈{1，2，3}…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．