Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，且a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1+a_n，证明{b_n}是等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）．可得到a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），问题得以证明，
（2）通过a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）．变形为a_n+1+λa_n=m（a_n+λa_n-1）形式计算可求．

解答 解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，且a_n+1=2a_n+3a_n-1（n≥2）
∴a_n+1+a_n=3（a_n+a_n-1），
又a₂+a₁=5，
∴{a_n+1+a_n}是首项为5，公比为3的等比数列，
∵b_n=a_n+1+a_n，
∴{b_n}是等比数列，
（2）由（1）可得a_n+1+a_n=5×3^n-1，①
∵a_n+1=2a_n+3a_n-1，
∴a_n+1-3a_n=-（a_n-3a_n-1），
又∵a₂-3a₁=3-3×2=-3，
∴数列{a_n+1-3a_n}是以-3为首项、-1为公比的等比数列，
∴a_n+1-3a_n=-3•（-1）^n-1，②
由①②可得a_n=$\frac{1}{4}$（5×3^n-1+3×（-1）^n-1）

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题