Question

17．中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拨赛于2016年7月14日在山东威海开赛，种子选手M与B₁，B₂，B₃三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，且各场比赛互不影响．
（1）若M至少获胜两场的概率大于$\frac{7}{10}$，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？
（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．
（2）利用相互独立事件与互斥事件的概率计算公式即可得出．

解答 解：（1）M与B₁，B₂，B₃进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，
则$P（A）=\frac{3}{4}，P（B）=\frac{2}{3}，P（C）=\frac{1}{2}$，由于事件A，B，C相互独立，
所以$P（D）=P（ABC）+P（AB\overline C）+P（A\overline BC）+P（\overline ABC）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$$+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{17}{24}$，
由于$\frac{17}{24}$$＞\frac{7}{10}$，所以M会入选最终的名单．
（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则$P（x=0）=\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$，$P（x=1）=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{6}{24}$，
$P（x=2）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{11}{24}$，$P（x=0）=\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{6}{24}$．

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$

数学期望$E（X）=0×\frac{1}{24}+1×\frac{6}{24}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{6}{24}=\frac{23}{12}$．

点评 本题考查了随机变量的概率分布列及其数学期望、相互独立与互斥事件的概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．