Question

3．如图，点P是抛物线y²=4x上动点，F为抛物线的焦点，将向量$\overrightarrow{FP}$绕点F按顺时针方向旋转90°到$\overrightarrow{FQ}$
（Ⅰ）求Q点的轨迹C的普通方程；
（Ⅱ）过F倾斜角等于$\frac{π}{4}$的直线l与曲线C交于A、B两点，求|FA|+|FB|的值．

Answer 1

分析 （I）设Q（x，y），P（a，b），则$\frac{b}{a-1}•\frac{y}{x-1}$=-1，（a-1）²+b²=（x-1）²+y²，b=x-1，a=-（y-1），即可求Q点的轨迹C的普通方程；
（Ⅱ）设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，联立方程求出结合|FA|+|FB|=|t₁|+|t₂|，进行计算即可．

解答 解：（I）设Q（x，y），P（a，b），
则$\frac{b}{a-1}•\frac{y}{x-1}$=-1，（a-1）²+b²=（x-1）²+y²，
∴b=x-1，a=-（y-1），
∵b²=4a，
∴（x-1）²=-4（y-1）
（II）过F倾斜角等于$\frac{π}{4}$的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，把直线的参数方程代入曲线方程得t²+4$\sqrt{2}$t-8=0，
则t₁+t₂=-4$\sqrt{2}$，t₁t₂=-8，
∴t₁＞0，t₂＜0，
则|FA|+|FB|=|t₁|+|t₂|=$\sqrt{32+32}$=8．

点评 本题主要考查轨迹方程，考查直线参数方程的运用，属于中档题．