Question

设函数f（x）=|3x-1|+ax+3
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）≤4；
（Ⅱ）若函数f（x）有最小值，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：（Ⅰ）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，
（Ⅱ）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|3x-1|+x+3，
当x≥

1

3

时，f（x）≤4可化为3x-1+x+3≤4，解得 

1

3

≤x≤

1

2

；
当x＜

1

3

时，f（x）≤4可化为-3x+1+x+3≤4，解得 0≤x＜

1

3

．
综上可得，原不等式的解集为{x|0≤x≤

1

2

}，
（Ⅱ）f（x）=|3x-1|+ax+3=

(3+a)x+2，x≥ 1 3 (a-3)+4，x＜ 1 3

函数f（x）有最小值的充要条件为

a+3≥0 a-3≤0

，
即-3≤a≤3．

点评：本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于基础题．