Question

已知直线l：

x= 2 +1+tcosθ y=-1+tsinθ

(t为参数，θ∈R)，曲线C：

x= 1 t y= 1 t t2-1

(t为参数)．
（1）若l与C有公共点，求直线l的斜率的取值范围；
（2）若l与C有两个公共点，求直线l的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：直线l是表示过定点（

2

+1，-1），倾斜角为θ的直线；
曲线C是圆x²+y²=1（x、y为同号）上的两段弧

AD

，

BC

；
根据题意画出图形，结合图形，求出直线MA、MB、MC、MD与圆的切线斜率，比较即可得出所求直线斜率的范围．

解答： 解：（1）直线l：

x= 2 +1+tcosθ y=-1+tsinθ

(t为参数，θ∈R)，
表示过定点（

2

+1，-1），倾斜角为θ的直线；
曲线C：

x= 1 t y= 1 t t2-1

(t为参数)化为普通方程是
y=x

( 1 x )2-1

，即x²+y²=1（x、y为同号），是

AD

，

BC

；
如图所示；
∴斜率k_MC=0，k_MB=

-1

2 +2

=

2 -2

2

=-1+

2

2

；
k_MA=

-2

2 +1

=-2

2

+2，k_MD=

-1

2

=-

2

2

；
设过点M的圆切线方程为y+1=k₀（x-

2

-1），
即k₀x-y-

2

k₀-k₀-1=0，
原点O到直线l的距离d=r，
即

|- 2 k0-k0-1|

k02+1

=1，
解得k₀=0，或k₀=-

1

2

；
直线与曲线C相交时，直线l的斜率的取值范围是{k|-2

2

+2≤k≤-

1

2

，或-1+

2

2

≤k≤0}；
（2）由（1）中图形知，l与C有两个公共点时，直线l的斜率的取值范围是{k|-

2

2

≤k＜-

1

2

}．

点评：本题考查了直线与圆的参数方程的应用问题，解题时应把参数方程化为普通方程，并画出图形，结合图形解答问题，是中档题．