Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E、F分别为PC、PD的中点．
（1）求证：DE⊥平面PBC
（2）在棱BC上确定一点G，使得PA∥面EFG，并写出证明过程
（3）在（2）成立的条件下，求二面角F-EG-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得DE⊥PC，PD⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由此能证明DE⊥平面PBC．
（2）棱BC中点G使得PA∥面EFG．以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PA∥面EFG．
（Ⅲ）由面EGC的法向量为

n

=(0，1，1)，利用向量法能求出二面角F-EG-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵底面ABCD为正方形，PD=AB=2，E为PC的中点，∴DE⊥PC．
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC．
∵ABCD为正方形，∴BC⊥CD，
∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PCD，
∵DE?平面PCD，∴BC⊥DE，
∴DE⊥平面PBC．…（4分）
（2）解：棱BC中点G使得PA∥面EFG．
证明如下：以DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），
E（0，1，1），F（0，0，1），B（2，2，0），
C（0，2，0），
设G（x，y，z）设

CG

=λ

CB

，则(x，y-2，z)=λ(1，0，0)∴G(λ，2，0)．
面EFG的法向量为

m

=(1，0，1)，

PA

=（2，0，-2），
∵

PA

•

m

=0，∴PA∥面EFG．…（8分）
（Ⅲ）设面EGC的法向量为

n

=(0，1，1)，
∴cosθ=

1

2

，∵二面角F-EG-C的平面角为钝角，
∴二面角F-EG-C的余弦值为-

1

2

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查棱BC上确定一点G，使得PA∥面EFG，并写出证明过程，考查二面角F-EG-C的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．