Question

已知集合A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}，y=lg

2a-x

x-(a2+1)

的定义域为集合B．
（1）若A=B，求实数a；
（2）是否存在实数a使得A∩B=ϕ，若存在，则求出实数a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,交集及其运算

专题：函数的性质及应用,集合

分析：（1）由集合B非空得出a≠1，对3a+1与2的大小比较，可分①当a＞

1

3

且a≠1时，②当a=

1

3

时，③当a＜

1

3

时3种情况，利用A=B求得a的值；
（2）仍分第（1）问的三种情况，化简集合A，再由条件A∩B=φ求得a的范围．

解答： 解：（1）由于函数的定义域是非空数集，故a≠1．
①当a＞

1

3

且a≠1时，A=（2，3a+1），B=（2a，a²+1），由A=B可得：

2=2a 3a+1=a2+1

，
方程组无解；                                                    
②当a=

1

3

时，A=φ，A=B不可能；                                    
③当a＜

1

3

时，A=（3a+1，2），B=（2a，a²+1），由A=B可得：

3a+1=2a 2=a2+1

，
∴a=-1．
（2）①当a＞

1

3

且a≠1时，A=（2，3a+1），B=（2a，a²+1），由A∩B=φ可得3a+1≤2a或a²+1≤2，
又a＞

1

3

且a≠1，则

1

3

＜a＜1；                 
②当a=

1

3

时，A=φ，则A∩B=φ，符合题意；                         
③当a＜

1

3

时，A=（3a+1，2），B=（2a，a²+1），由A∩B=φ可得2≤2a或a²+1≤3a+1，
又a＜

1

3

，则0≤a＜

1

3

．
∴当a∈[0，1）时，A∩B=φ．．

点评：本题主要考查函数的定义域的求法，同时考查集合与集合之间的关系，对于含有字母的函数定义域的求法，通常要讨论．