题目内容
已知双曲线
-
=1（b∈N*）的两个焦点为F1，F2，O为坐标原点，点P在双曲线上，且|OP|＜5，若|PF1|、|F1F2|、|PF1|成等比数列，则b2等于（ ）
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b2 |
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
考点：双曲线的简单性质,等比数列的通项公式
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：通过等比数列双曲线的定义，余弦定理推出：|OP|2=20+3b2．利用|OP|＜5，b∈N，求出b的值
解答：
解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，
即4c2=|PF1||PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=16…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π-θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2||OP|cos（π-θ），|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．
所以b=1．
故选：A
即4c2=|PF1||PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=16…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π-θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2||OP|cos（π-θ），|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．
所以b=1．
故选：A
点评：本题考查双曲线的定义，余弦定理以及等比数列的应用，是有难度的综合问题，考查分析问题解决问题的能力
练习册系列答案
科学实验活动册系列答案
相关题目
某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得这个几何体的体积为（ ）
A、4+4
| ||
B、4+4
| ||
C、
| ||
| D、12 |
有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则当水面下降1米后，水面宽度为（ ）
| A、9 | ||
| B、4.5 | ||
C、
| ||
D、2
|
已知
，
，
是空间的一个基底，设
=
+
，
=
-
，则下列向量中可以与
，
一起构成空间的另一个基底的是（ ）
| a |
| b |
| c |
| p |
| a |
| b |
| q |
| a |
| b |
| p |
| q |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
| D、以上都不对 |
已知点P，A，B在双曲线
-
=1上，直线AB过坐标原点，且直线PA、PB的斜率之积为
，则双曲线的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 1 |
| 3 |
A、
| ||||
B、
| ||||
| C、2 | ||||
D、
|