Question

19．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D为BC的中点，AB=3，AC=AA₁=4，BC=5．
（1）求证：AB⊥A₁C；
（2）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（3）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由已知结合勾股定理可得AB⊥AC．再由三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，可得AB⊥AA₁，然后由线面垂直的判定可得AB⊥平面AA₁C，进一步得到AB⊥A₁C；
（2）设A₁C与AC₁交于E点，连接ED．由三角形中位线定理可得A₁B∥ED，由线面平行的判定可得A₁B∥平面ADC₁；
（3）求出△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，直接由棱柱的体积公式求解．

解答 （1）证明：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∵AB?平面ABC，
∴AB⊥AA₁，
∵AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面AA₁C，
∵A₁C?平面AA₁C，
∴AB⊥A₁C；
（2）证明：设A₁C与AC₁交于E点，连接ED．
∵在△A₁BC中，D为BC的中点，E为A₁C的中点，
∴A₁B∥ED，
∵ED?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁；
（3）解：∵△ABC的面积$S=\frac{1}{2}×3×4=6$，
直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高h=4，
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=Sh=6×4=24．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了柱、锥、台体体积的求法，是中档题．