Question

7．已知函数$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}x$（a∈R且a≠0）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在（-2，f（-2））处的切线方程；
（2）当a＞0时，求函数y=f（x）的单调区间和极值；
（3）当x∈[2a，2a+2]时，不等式|f'（x）|≤3a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（-2），f′（-2）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（3）求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性求出f′（x）的最小值和最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵当a=-1时，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}-3x$，f'（x）=-x²-4x-3，
∴$f（-2）=\frac{8}{3}-8+6=\frac{2}{3}$，f'（-2）=-4+8-3=1．
∴$y=[{x-（-2）}]+\frac{2}{3}$，即所求切线方程为3x-3y+8=0．
（2）∵f'（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-a）（x-3a）．
当a＞0时，由f'（x）＞0，得a＜x＜3a；由f'（x）＜0，得x＜a或x＞3a．
∴函数y=f（x）的单调递增区间为（a，3a），单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞），
∵f（3a）=0，$f（a）=-\frac{4}{3}{a^3}$，
∴当a＞0时，函数y=f（x）的极大值为0，极小值为$-\frac{4}{3}{a^3}$．
（3）f'（x）=-x²+4ax-3a²=-（x-2a）²+a²，
∵f'（x）在区间[2a，2a+2]上单调递减，
∴当x=2a时，$f'{（x）_{max}}={a^2}$，当x=2a+2时，$f'{（x）_{min}}={a^2}-4$．
∵不等式|f'（x）|≤3a恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\{a^2}≤3a\\{a^2}-4≥-3a\end{array}\right.$解得1≤a≤3，
故a的取值范围是[1，3]．

点评 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．