Question

1．函数f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的值域用区间表示为[-$\frac{1}{8}$，+∞）．

Answer 1

分析 令t=log₂x，则t∈R，y=f（x）=$\frac{1}{2}$（t²+t），结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的值域．

解答 解：函数f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的定义域为（0，+∞），
由f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）=$\frac{1}{4}$log₂x•2（log₂x+1），
令t=log₂x，则t∈R，
y=f（x）=$\frac{1}{2}$（t²+t），
当t=$-\frac{1}{2}$时，函数有最小值-$\frac{1}{8}$，无最大值，
故函数f（x）=log₄$\sqrt{x}$•log${\;}_{\sqrt{2}}$（2x）的值域为[-$\frac{1}{8}$，+∞），
故答案为：[-$\frac{1}{8}$，+∞）

点评 本题考查的知识点是对数的运算性质，函数的最值，函数的值域，二次函数的图象和性质，难度中档．