题目内容
20．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的正弦值为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$ | D． | $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$ |
分析 设B1B=a，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，推知BC=a，DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，推知表示出长方体从一个顶点出发的三条棱的长度推知面对角线的长度，再用余弦定理求解．
解答 解：设B1B=a，
∵B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°
∴BC=a，DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴A1D=$\sqrt{2}$a，DC1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，A1C1=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
由余弦定理得：cos∠C1A1D=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sin∠C1A1D=$\sqrt{1-\frac{6}{16}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
故选C．
点评 本题主要考查异面直线所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，则用三角函数的定义，若在一般三角形中则用余弦定理．
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如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，AB=3，AC=AA1=4，BC=5．