Question

已知函数f（x）=

2x-1

x+1

（1）求f（x）的定义域；
（2）证明函数f（x）=

2x-1

x+1

在[1，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由x+1≠0，得x≠-1．故函数的定义域是{x|x≠-1}．
（2）f（x）=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

，在（1，+∞）上任取x₁，x₂，使得1＜x₁＜x₂，则可证f（x₁）＜f（x₂），即得f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

解答： 解：（1）由x+1≠0，得x≠-1．故函数的定义域是{x|x≠-1}．
（2）f（x）=

2x-1

x+1

=2-

3

x+1

，
在（1，+∞）上任取x₁，x₂，使得1＜x₁＜x₂，则，
f（x₁）-f（x₂）=

3x1-3x2

(x1+1)(x2+1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴0＜x₁+1＜x₂+1，且x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考察了函数单调性的判断与证明，函数的定义域及其求法，属于基础题．