题目内容

函数f(x)=
cos2x
sinx+cosx
+2sinx．
（Ⅰ）在△ABC中，cosA=-
3
5
，求f（A）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的所有对称轴的方程．
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：计算题
分析：（Ⅰ）利用2倍角的余弦公式与平方差公式，把函数解析式化简为f（x）=cosx+sinx=
2
sin(x+
π
4
)，再利用A的范围求出sinA，可求f（A）；
（Ⅱ）根据函数解析式可得f（x）的最小正周期T=2π．令x+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈Z，求出x=kπ+
π
4
，k∈Z，即为对称轴方程．
解答： 解：（Ⅰ）由sinx+cosx≠0得x≠kπ-
π
4
，k∈Z．
f(x)=
cos2x
sinx+cosx
+2sinx=
cos2x-sin2x
sinx+cosx
+2sinx=cosx+sinx=
2
sin(x+
π
4
)，
因为在△ABC中，cosA=-
3
5
＜0，
所以
π
2
＜A＜π，
所以sinA=
1-cos2A
=
4
5
，
所以f(A)=sinA+cosA=
4
5
-
3
5
=
1
5
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f(x)=
2
sin(x+
π
4
)，
所以f（x）的最小正周期T=2π．
因为函数y=sinx的对称轴为x=kπ+
π
2
，k∈Z，
又由x+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈Z，得x=kπ+
π
4
，k∈Z，
所以f（x）的对称轴的方程为x=kπ+
π
4
，k∈Z．
点评：本题考查了2倍角的余弦公式，两角和的正弦公式及平方差公式，考查了三角函数的最小正周期的求法及对称轴方程，解题的关键是对三角函数式的化简．
练习册系列答案
相关题目
点P（1，1，1）其关于XOZ平面的对称点为P′，则︳PP′︳=
 
．
圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑．
（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；
（2）求支柱A2B2的高度（精确到0.01米）．
如图，△ABE与△ACD都是正三角形，且
BA
=
AC
，
CM
=
MD
，若
BM
=λ
AE
+μ
AD
，则λμ=（　　）
A、3
B、-3
C、
3
D、-
3
已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．
（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．
已知函数f(x)=
ax2+2x ， x≥0 
-x2+bx ， x＜0
是偶函数，直线y=t与函数f（x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|=|BC|，则实数t的值为
 
．
由恒等式：
1+2
1+3
1+4
1+5
1+…
=3．可得
1+3
1+4
1+5
1+6
1+…
=
 
；进而还可以算出
1+4
1+5
1+6
1+7
1+…
、
1+5
1+6
1+7
1+8
1+…
的值，并可归纳猜想得到
1+n
1+(n+1)
1+(n+2)
1+(n+3)
1+…
=
 
．（n∈N*）
设函数f（x）的定义域是R，值域是（0，+∞），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＜0时，0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求证：f（0）=1，且当x＞0时，有f（x）＞1；
（Ⅱ）证明对于任意实数m，n，恒有f(m-n)=
f(m)
f(n)
，并判断f（x）在R上的单调性；
（Ⅲ）集合A={（x，y）|f（x2）•f（y2）＜f（1）}，集合B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=φ，求a的取值范围．
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（　　）
A、
1+2π
4π
B、
1+2π
2π
C、
1+2π
π
D、
1+4π
2π

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