Question

已知函数f(x)=

ax2+2x ， x≥0  -x2+bx ， x＜0

是偶函数，直线y=t与函数f（x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，若|AB|=|BC|，则实数t的值为

 

．

Answer 1

考点：函数的零点,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）是偶函数，得到a，b，c的值，然后根据二次函数的图象的对称性，解出A，B，C，D的坐标，利用|AB|=|BC|，即可求出实数t的值．

解答： 解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
当x＜0时，-x＞0，
即f（-x）=ax²-2x=-x²+bx，
∴a=-1，b=-2，
即f（x）=

-x2+2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，
作出函数f（x）的图象如图：
直线y=t与函数f（x）的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D，
不妨是对应的横坐标分别为a，b，c，d，
则A，B关于x=-1对称，即

a+b

2

=-1，①
∵函数是偶函数，∴c=-b，d=-a，
若|AB|=|BC|，
则B是A，B的中点，
∴

a+c

2

=

a-b

2

=b，②，
解得a=3b，代入①
解得b=-

1

2

，a=-

3

2

，
当b=-

1

2

时，f（b）=f（-

1

2

）=-（-

1

2

）²-2（-

1

2

）=1-

1

4

=

3

4

，
即t=

3

4

，
故答案为：

3

4

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及二次函数的图象和性质，利用数形结合是解决本题的关键，考查中点坐标公式，综合性较强．