Question

设函数f（x）的定义域是R，值域是（0，+∞），对于任意实数m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＜0时，0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求证：f（0）=1，且当x＞0时，有f（x）＞1；
（Ⅱ）证明对于任意实数m，n，恒有f(m-n)=

f(m)

f(n)

，并判断f（x）在R上的单调性；
（Ⅲ）集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，集合B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=φ，求a的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,交集及其运算,函数单调性的判断与证明,抽象函数及其应用,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由于f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，可得f（1）=f（1）f（0），已知f（x）值域是（0，+∞），可得f（1）≠0，即可得出f（0）．取m=x，n=-x，则有f（0）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，利用当x＜0时，0＜f（x）＜1即可得出．
（II）由于对于任意实数m，n，恒有f(m-n)=f(m)f(-n)=

f(m)

f(n)

，设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，可得

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1，即可证明．
（III）对于集合A：f（x²+y²）=f（x²）f（y²）＜f（1），利用f（x）是R上的单调增函数，
可得x²+y²＜1．由f（ax-y+2）=1=f（0），可得ax-y+2=0．由于A∩B=φ，可得

ax-y+2=0 x2+y2＜1

无公共点，利用直线与圆的位置关系即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，则有f（1）=f（1）f（0），
∵f（x）值域是（0，+∞），∴f（1）≠0，∴f（0）=1．
取m=x，n=-x，则有f（0）=f（x）f（-x），即f（x）f（-x）=1，
∵当x＞0时，有-x＜0，∴0＜f（-x）＜1，即0＜

1

f(x)

＜1，
∴f（x）＞1．
（Ⅱ）证明：对于任意实数m，n，恒有f(m-n)=f(m)f(-n)=

f(m)

f(n)

，
设x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，∴

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)＜1，
∵f（x）＞0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）是R上的单调增函数；  
（Ⅲ）∵f（x²+y²）=f（x²）f（y²）＜f（1），f（x）是R上的单调增函数，
∴x²+y²＜1．
又f（ax-y+2）=1=f（0），∴ax-y+2=0，
∵A∩B=φ，∴

ax-y+2=0 x2+y2＜1

无公共点，
即

ax-y+2=0 x2+y2=1

无解或有一个公共解．
即方程（a²+1）x²+4ax+3=0无解或有唯一解；
即△=4a²-12≤0，解得    -

3

≤a≤

3

．

点评：本题综合考查了抽象函数的单调性、直线与圆的位置关系，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力，属于难题．