Question

已知△ABC的三个顶点A（-1，0），B（1，0），C（3，2），其外接圆为⊙H．
（1）若直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，求直线l的方程；
（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求⊙C的半径r的取值范围．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）先求出圆H的方程，再根据直线l过点C，且被⊙H截得的弦长为2，设出直线方程，利用勾股定理，即可求直线l的方程；
（2）设P的坐标，可得M的坐标，代入圆的方程，可得以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，由此求得⊙C的半径r的取值范围．

解答： 解：（1）由题意，A（-1，0），B（1，0），C（3，2），∴AB的垂直平分线是x=0
∵BC：y=x-1，BC中点是（2，1）
∴BC的垂直平分线是y=-x+3
由

x=0 y=-x+3

，得到圆心是（0，3），∴r=

10

∵弦长为2，∴圆心到l的距离d=3．
设l：y=k（x-3）+2，则d=

|-3-3k+2|

k2+1

=3，∴k=

4

3

，∴l的方程y=

4

3

x-2；
当直线的斜率不存在时，x=3，也满足题意．
综上，直线l的方程是x=3或y=

4

3

x-2；
（2）直线BH的方程为3x+y-3=0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y）．
因为点M是点P，N的中点，所以M（

m+x

2

，

n+y

2

），
又M，N都在半径为r的圆C上，所以

(x-3)2+(y-2)2=r2 ( m+x 2 -3)2+( n+y 2 -2)2=r2

，即

(x-3)2+(y-2)2=r2 (x+m-6)2+(y+n-4)2=4r2

因为该关于x，y的方程组有解，即以（3，2）为圆心，r为半径的圆与以（6-m，4-n）为圆心，2r为半径的圆有公共点，所以（2r-r）²＜（3-6+m）²+（2-4+n）²＜（r+2r）²，
又3m+n-3=0，
所以r²＜10m²-12m+10＜9r²对任意m∈[0，1]成立．
而f（m）=10m²-12m+10在[0，1]上的值域为[

32

5

，10]，
又线段BH与圆C无公共点，所以（m-3）²+（3-3m-2）²＞r²对任意m∈[0，1]成立，即r2＜

32

5

．
故圆C的半径r的取值范围为[

10

3

，

4 10

5

）．

点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查解不等式，考查学生分析解决问题的能力，有难度．