Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜测数列{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由a_n+1=

1

2-an

，可求a₂，a₃，a₄；
（2）猜测a_n=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

（n∈N^*），再用数学归纳法证明．

解答： 解：（1）由a_n+1=

1

2-an

，可得a₂=

1

2-a1

=

1

2-a

，a₃=

1

2-a2

=

1

2- 1 2-a

=

2-a

3-2a

，
a₄=

1

2-a3

=

1

2- 2-a 3-2a

=

3-2a

4-3a

．
（2）猜测a_n=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

（n∈N^*）．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=a₁=a，
右边=

(1-1)-(1-2)a

1-(1-1)a

=a，猜测成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时猜测成立，
即a_k=

(k-1)-(k-2)a

k-(k-1)a

．
则当n=k+1时，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- (k-1)-(k-2)a k-(k-1)a

=

k(k-1)a

2[k-(k-1)a]-[(k-1)-(k-2)a]

=

k-(k-1)a

(k+1)-ka

．
故当n=k+1时，猜测也成立．
由①，②可知，对任意n∈N^*都有a_n=

(n-1)-(n-2)a

n-(n-1)a

成立．

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，考查数列的通项公式，正确运用数学归纳法是关键，属于中档题．