Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，并且满足2S_n=a_n²+n，a_n＞0（n∈N^*）．
（Ⅰ）求 a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

考点：数学归纳法,数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）分别令n=1，2，3，列出方程组，能够求出求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想：a_n=n，由2S_n=a_n²+n可知，当n≥2时，2S_n-1=a_n-1²+（n-1），所以a_n²=2a_n+a_n-1²-1，再用数学归纳法进行证明．

解答： 解：（1）分别令n=1，2，3，得

2a1=a12+1 2(a1+a2)=a22+2 2(a1+a2+a3)=a32+3

∵a_n＞0，∴a₁=1，a₂=2，a₃=3．
（2）由（1）的结论：猜想a_n=n
（ⅰ）当n=1时，a₁=1成立；
（ⅱ）假设当n=k（k≥2）时，a_k=k．
那么当n=k+1时，
[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
∵a_k+1＞0，k≥2，∴a_k+1+（k-1）＞0，
∴a_k+1=k+1．
这就是说，当n=k+1时也成立，
∴a_n=n（n≥2）．显然n=1时，也适合．
综合（1）（2）可知对于n∈N^*，a_n=n都成立．

点评：本题主要考查数学归纳法的应用，由数列的前n项和求通项公式，属于中档题．