Question

13．已知正项数列{a_n}的首项a₁=1，且（n+1）a${\;}_{n+1}^{2}$+a_na_n+1-na${\;}_{n}^{2}$=0对?n∈N*都成立．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_2n-1a_2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）（n+1）a${\;}_{n+1}^{2}$+a_na_n+1-na${\;}_{n}^{2}$=0对?n∈N*都成立．分解因式可得：[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，由a_n+1+a_n＞0，可得（n+1）a_n+1-na_n=0，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．利用“累乘求积”方法即可得出．
（2）b_n=a_2n-1a_2n+1=$\frac{1}{2n-1}•\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：（n+1）a${\;}_{n+1}^{2}$+a_na_n+1-na${\;}_{n}^{2}$=0对?n∈N*都成立．
∴[（n+1）a_n+1-na_n]（a_n+1+a_n）=0，∵a_n+1+a_n＞0，
∴（n+1）a_n+1-na_n=0，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=$\frac{n-1}{n}•\frac{n-2}{n-1}$•…•$\frac{1}{2}$•1=$\frac{1}{n}$．
（2）证明：b_n=a_2n-1a_2n+1=$\frac{1}{2n-1}•\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$$＜\frac{1}{2}$．
即T_n＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．