Question

4．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2正三角形，D是A₁C₁的中点，且AA₁⊥平面ABC，AA₁=3．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角D-B₁C-C₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结BC₁，B₁C，交于点O，连结OD，则OD∥A₁B，由此能证明A₁B∥平面B₁DC．
（2）以D为原点，DC₁为x轴，DB₁为y轴，过D作平面A₁B₁C₁的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-B₁C-C₁的余弦值．

解答 证明：（1）连结BC₁，B₁C，交于点O，连结OD，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2正三角形，D是A₁C₁的中点，
∴OD∥A₁B，
∵A₁B?平面B₁DC，OD?平面B₁DC，
∴A₁B∥平面B₁DC．
（2）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为2正三角形，D是A₁C₁的中点，且AA₁⊥平面ABC，AA₁=3．
∴以D为原点，DC₁为x轴，DB₁为y轴，过D作平面A₁B₁C₁的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（1，0，3），C₁（1，0，0），
$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-1，0，-3），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（0，0，-3），
设平面B₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=-x+\sqrt{3}y-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=-x-3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-3，0，1），
设平面B₁CC₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=-a+\sqrt{3}b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=-3c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，1，0$），
设二面角D-B₁C-C₁的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{10}•\sqrt{4}}$=$\frac{3\sqrt{30}}{20}$．
∴二面角D-B₁C-C₁的余弦值为$\frac{{3\sqrt{30}}}{20}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．