Question

已知函数f（x）=x²-2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[1，+∞）
• B、[-

  1

  2

  ，+∞）
• C、（-∞，1]
• D、（-∞，-

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：方法一、讨论判别式小于0，或判别式大于0，区间在对称轴的左边或右边，由单调性考虑最小值不大于0，解出不等式组即可；
方法二、运用参数分离，得到2a≤x+

1

x

在x∈（0，1]恒成立，对右边运用基本不等式，求得最小值2，解2a≤2，即可得到．

解答： 解法一：依题意可得△=4a²-4≤0，或

△＞0 - -2a 2 ≤0 f(0)≥0

或

△＞0 - -2a 2 ≥1 f(1)≥0

，
解得-1≤a≤1，或

a＞1或a＜-1 a≤0 1≥0

或

a＞1或a＜-1 a≥1 a≤1

，
即有-1≤a≤1，或a＜-1或a∈∅，故实数a的取值范围是：（-∞，1]
解法二：f（x）=x²-2ax+1对任意x∈（0，1]恒有f（x）≥0成立，
即有2a≤x+

1

x

在x∈（0，1]恒成立，
由于x+

1

x

≥2，当且仅当x=1取最小值2，
则2a≤2，即有a≤1．
故选C．

点评：本题考查含参二次不等式恒成立问题可运用二次函数的性质和判别式，也可通过参数分离，运用基本不等式求最值，属于中档题．