Question

18．已知a₁＞a₂＞a₃＞1，则使得${a_i}{x^2}+（a_i^2+1）x+{a_i}＞0$（i=1，2，3）都成立的x的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{a_3}）$
• B． $（-∞，-{a_3}）∪（-\frac{1}{a_3}，+∞）$
• C． $（-∞，-{a_3}]∪（-\frac{1}{a_3}，+∞）$
• D． $（-∞，-\frac{1}{a_3}）∪（-{a_3}，+∞）$

Answer 1

分析 由a_i＞1，得-$\frac{1}{{a}_{i}}＞-{a}_{i}$
${a_i}{x^2}+（a_i^2+1）x+{a_i}＞0$?（（a_ix+1）（x+a_i）＞0，⇒x＞-$\frac{1}{{a}_{i}}$，或x＜-a₃
由a₁＞a₂＞a₃＞1，∴$-\frac{1}{{a}_{1}}＞-\frac{1}{{a}_{2}}＞-\frac{1}{{a}_{3}}$，⇒x$＞-\frac{1}{{a}_{3}}$或x＜-a₃

解答 解：∵a_i＞1，∴-$\frac{1}{{a}_{i}}＞-{a}_{i}$，
${a_i}{x^2}+（a_i^2+1）x+{a_i}＞0$?（（a_ix+1）（x+a_i）＞0，
⇒x＞-$\frac{1}{{a}_{i}}$，或x＜-a₃
又因为a₁＞a₂＞a₃＞1，∴$-\frac{1}{{a}_{1}}＞-\frac{1}{{a}_{2}}＞-\frac{1}{{a}_{3}}$，
⇒x$＞-\frac{1}{{a}_{3}}$或x＜-a₃
故选：B

点评 本题考查了不等式的性质，不等式的解法，属于中档题．