Question

若β=α+30°，则化简sin²α+cos²β+sinαcosβ的结果为

 

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：将β=α+30°代入cos²β与sinαcosβ中化简，将结果代入所求式子中，利用同角三角函数间基本关系计算即可得到结果．

解答： 解：∵β=α+30°，
∴cos²β=（cosαcos30°-sinαsin30°）²=

3

4

cos²α-

3

2

sinαcosα+

1

4

sin²α，
sinαcosβ=sinαcos（α+30°）=sinα（cosαcos30°-sinαsin30°）=

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α，
∴sin²α+cos²β+sinαcosβ
=sin²α+（

3

4

cos²α-

3

2

sinαcosα+

1

4

sin²α）+（

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α）
=sin²α+

3

4

cos²α-

3

2

sinαcosα+

1

4

sin²α+

3

2

sinαcosα-

1

2

sin²α
=

3

4

（sin²α+cos²α）
=

3

4

．
故答案为：

3

4

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．