Question

数列{a_n}的前n项为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）．
（1）证明：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）证明数列{a_n+3}是等比数列，利用等比数列的定义，证明

an+3

an-1+3

=2(n≥2)即可；
（2）根据数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，可求求数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）证明：由S_n=2a_n-3n，得S_n-1=2a_n-1-3（n-1）（n≥2），
则有a_n=2a_n-2a_n-1-3a_n+3=2（a_n-1+3）（n≥2），
∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3，
∴a₁+3=6≠0，
由此可得a₂+3=12≠0，以此类推a_n+3≠0，
∴

an+3

an-1+3

=2(n≥2)，
∴数列{a_n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（2）解：∵a₁=S₁=2a₁-3，∴a₁=3．
由（1）知an+3=(a1+3)•2n-1，∴an=3•2n-3．…（12分）

点评：证明数列是等比数列，定义是根本，求数列的通项，正确运用等比数列的通项是关键．